By L. Garrido

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Example text

59) 32 2. 58) die Kontinuit¨atsgleichung ∂ (x, t) + ∇ . j(x, t) = 0 . 60) Ihre Darstellung in integraler Form erh¨ alt man mittels des Gaußschen Integralsatzes f¨ ur ein beliebiges festes Volumen V mit Oberfl¨ache O d dt d3 x (x, t) = − V df . j(x, t) . 61) das Volumen gegen unendlich gehen lassen. Eine normierbare Wellenfunktion muß im Unendlichen st¨ arker als 1/|x|3/2 abfallen, damit das Integral u ¨ ber die Wahrscheinlichkeitsdichte endlich ist. 59) und der Voraussetzung, daß eventuelle periodische Abh¨ angigkeiten f¨ ur große Abst¨ ande nur von der Form exp(ik .

H. 3 sehen werden. 3 Mehrteilchensysteme Wir suchen schließlich noch die Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur ein System aus N Teilchen. Der Zustand dieses N -Teilchen-Systems werde durch die Wellenfunktion ψ(x1 , x2 , . . , xN , t) beschrieben, wobei xi die Koordinaten des i-ten Teilchens sind. |ψ(x1 , x2 , . . , xN , t)|2 d3 x1 d3 x2 . . d3 xN ist dann die Wahrscheinlichkeit, die Teilchen 1, . . , N zur Zeit t innerhalb der Volumenelemente d3 x1 , . . , d3 xN zu finden. Aus der klassischen Energie E= p21 p2 p2 + 2 + .

Dies wollen wir sofort untersuchen und verwenden, um nun die quantenmechanische Bewegungsgleichung in einem Potential herzuleiten, indem wir von der Hamilton-Funktion p2 /2m + V (x) ausgehen. Die Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur ein Teilchen im Potential V (x) ergibt sich wie folgt. Die Zuordnung E = p2 /2m + V (x) −→ i ∂ ψ(x, t) = ∂t − 2 2m ∇2 + V (x) ψ(x, t) ergibt die Schr¨odinger-Gleichung eines Teilchens im Potential V (x) ∂ ψ(x, t) = Hψ(x, t) ∂t mit dem Hamilton-Operator i H=− 3 2 2m ∇2 + V (x) .

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