By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

Zur Grundausbildung in Mathematik geh?rt heute neben der Linearen Algebra, der Differential- und Integralrechnung und den Differentialgleichungen auch stets eine Einf?hrung in die Funktionentheorie, additionally in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Ver?nderlichen. Die vorliegende ?berarbeitete Auflage ist in Umfang und Schwierigkeitsgrad auf das Grundstudium ausgerichtet. Das Buch behandelt die wichtigsten Begriffe und S?tze, einschlie?lich des Residuenkalk?ls, bis hin zum Satz von Mittag-Leffler, zum Weierstra?schen Produktsatz und zum Riemannschen Abbildungssatz. Zahlreiche Figuren und ein nochmals erweitertes Angebot an kommentierten ?bungsaufgaben erleichtern das Durcharbeiten dieser pr?gnanten, kurzgefa?ten Einf?hrung.

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Definiert man Summe j +9 und Produkt j. ). 3 Laurentreihen Um eine isolierte Singularität läßt sich eine holomorphe Funktion zwar im allgemeinen nicht in eine Potenzreihe, wohl aber, wie wir Kapitel 4. Isolierte Singularitäten 38 sehen werden, in eine sogenannte Laurentreihe entwickeln. Unter einer Laurentreihe um Zo versteht man eine Reihe der Form 00 L: cn(z - zot, n=-oo oder eigentlich genauer das Paar der beiden Reihen 00 00 L: c_n(z - zo)-n und n=l L: cn(z - zot, n=O welche Haupt- und Nebenteil der Laurentreihe genannt werden.

Dann gilt 9 = g. BEWEIS: Es seien (Ta, ... , Tn ) die Unterteilung und (Ja, ... n) die Funktionen der ersten Fortsetzung. 3 Fortsetzung längs Wegen 51 die Potenzreihe um -y(t) , die man durch Potenzreihenentwicklung von li erhält. Da li und li-l in Ki-l n Ki ja übereinstimmen, ist P, dadurch für jedes t E [to, tl1, nämlich auch für die Teilungspunkte t = Ti, wohlbestimmt. Ja mehr noch: zu jedem t gibt es ein e > 0, so daß man für It - t' I < e die Potenzreihe Pt' durch Potenzreihenentwicklung von Pt an der Stelle -y(t') erhält.

Zu AUFGABE 5: Die Behauptung verallgemeinert den Satz von Liouville, deshalb wird man versuchen, dessen Beweis entsprechend allgemeiner zu führen. Das ist auch der Übungszweck der Aufgabe! Ab dem vierten Kapitel würde man freilich stattdessen gleich g(z) := ~, zunächst in C ,0 definiert, betrachten. 4) gewidmet, aus dem man alles entnehmen kann, was zur Lösung gebraucht wird. Dem wenn auch trivialen Fall einer unendlichfachen Nullstelle sollten auch zwei Zeilen vergönnt werden. Zu AUFGABE 7: Um jeden Punkt Xo E Uo eine Potenzreihe!

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