By Walter Thirring

In der Quantentheorie werden Observable durch Operatoren im Hilbert-Raum dargestellt. Der dafA1/4r geeignete mathematische Rahmen sind die Cx - Algebren, welche Matrizen und komplexe Funktionen verallgemeinern. Allerdings benAtigt guy in der Physik auch unbeschrAnkte Operatoren, deren Problematik eigens untersucht werden muA. Dementsprechend werden zunAchst mathematische Fragen studiert und dann die Methoden auf atomare Systeme angewandt. Obgleich guy auAer dem Wasserstoffatom kaum explizit lAsbare Probleme findet, lassen sich nicht nur allgemeine qualitative Fragen, etwa bezA1/4glich des Energiespektrums und Streuverhaltens, beantworten, sondern auch quantitativ kann guy auch fA1/4r kompliziertere Systeme fA1/4r meAbare GrAAen Schranken teils befriedigender Genauigkeit finden. Inhaltsverzeichnis: Einleitung: Die Struktur der Quantentheorie; GrAAenordnungen atomarer Systeme.- Die mathematische Formulierung der Quantenmechanik: Lineare RAume; Algebren; Darstellungen im Hilbertraum; Einparametrige Gruppen; UnbeschrAnkte Operatoren und quadratische Formen.- Quantendynamik: Das Weyl-System; Der Drehimpuls; Die Zeitentwicklung; Der Limes t; StArungstheorie; StationAre Streutheorie.- Atomare Systeme: Das Wasserstoffatom; Das H-Atom in AuAeren Feldern; Heliumartige Atome; Streuung am einfachen Atom; Komplexe Atome; Kernbewegung und einfache MolekA1/4le.

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3,5) Sei ug eine Automorphismengruppe einer C*-Algebra A, w ein invarianter Zustand (w(ug(a)) = w(a) V g) und 'Trw die mit w konstruierte Darstellung. 3,6) n = der zyklische Vektor. ngen. , = 0, Ug U-g I E 'Tr(A)'. Nun ist n ffir 'Tr(A) zyklisch => ffir 'Tr(A)' separierend => Ug U-I = 1 (vgl. Aufgabe 5). Separierend heiBt a'im = 0 => g => a' = 0, wenn a' E 'Tr(A)'. 3,7) I. 1st die Gruppe topologisch und die Realisierung durch Automorphismen "schwach" stetig, dann ist Ug stark stetig U(Ug -1)'Tr w(a)nU 2 = 2w(a*a) -w(a*ug(a)) - w(ug

LOb> $. X F . 1st aber L(t) = (glt), g E X I, wahlen wir fl = g/lIgli. Wegen a exp [-a*lIgll] = exp [-a*lIgll] (a-lIgll), erflillt lOb> = exp [-arllgll]IO> formal bklOb> = (ak + 8klllgll) lOb> = O. lOb> ist normierbar, falls 00 > (Olexp [-lIgllal] exp [-lIgllat] 10> = ~ ~ IIgll 2n n! ) = exp IIgll 2 , also (~I~> < 00, falls IIgll 2 < 00. 7. (i) In der Matrixnotation b = a + wa* verlangt (i): 1 = [b,b*h = <1>* '+ '11 '11* und o = [b,b 1:. = 'lit '+ '11 t. :: +:: 1= L Invertierbarkeit verlangt was die untere Zeile der Bedingungen gibt.

0 erhalten bleibt. Fordem wir femer (im N-dimensionalen), da~ der chaotische Zustand Pi = liN V- i stationar ist, mu1' au1'erdem ~ M' k = I V- i gelten, Mist dann eine sogenannte doppeltk I stochastische Matrix. Diese sind offensichtlich eine konvexe Menge und daher nach dem Satz von Krein-Milman konvexe Kombinationen der Extremalelemente. Letztere konnen nur Matrizen mit Mik = 0 oder 1 sein, und 1 = ~ M' k = ~ M' k sagt dann, da~ in jeder Zeile und Spalte eine Eins steht. ilk I Dies sind genau die Permutationsmatrizen, sie ftihren P in ein aquivalentes P tiber.

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