By Dörte Haftendorn

Dieses Buch ist f?r Sie geschrieben. Sie zeigen Ihre Neugier dadurch, dass Sie es in die Hand genommen und umgedreht oder diesen textual content angeklickt haben. Genau f?r Menschen wie Sie, die wissen wollen, wie es kommt, dass die Mathematik so universell die Ph?nomene des modernen Alltags durchzieht, ist dieses Buch geschrieben. In die folgenden Themen werden Sie eingef?hrt: Kryptografie Codierung Graphentheorie Fraktale, Chaos und Ordnung Welt der Funktionen Optimierung als Ziel desktop als Werkzeuge f?r Mathematik Numerik Stochastik Geometrie Selbstverst?ndnis der Mathematik Das Besondere an diesem Buch: Sie werden in Ihrem Bed?rfnis zu verstehen ernst genommen. Sie werden schrittweise und meist durch Bilder an die tragenden Prinzipien herangef?hrt. Auf der web site zum Buch k?nnen Sie die Bilder selbst „in die Hand nehmen" und variieren. Auf Rechnungen und Umformung von Formeln wird weitestgehend verzichtet, der Devise folgend: Besser Verstehen ohne zu rechnen als Rechnen ohne zu verstehen. site zum Buch: www.mathematik-sehen-und-verstehen.de

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Am Ende sind im Kasten die Vielfachen gefunden, mit denen man die 1 „darstellen“ kann. Mit einem Taschenrechner kann man hier nicht rechnen, man braucht die Struktur der Terme. Sie können sich sicher vorstellen, dass man dieses Vorgehen gut programmieren kann. Interessenten können dies auf der Website zum Buch finden. Jedes CAS hat dafür einen Befehl schon fertig vorgesehen (ExtendedGCD in Mathematica oder ähnlich). Es werden dann [ggT(a, b), s, t] als Liste ausgegeben. Hier interessiert nur der Fall, dass ggT(a, b) = 1 ist; es gilt alles auch für andere größte gemeinsame Teiler.

7. Berta rechnet test ∶ ≡ (zanton )eV = 96094601 ≡ 12 432. nV 13 483 8. Wenn sich test ≡nV idanton ergibt und wenn sie diese Zahl auch mit dem Standardverfahren aus Antons Namen und seinen Schlüssel erhalten hat, hält sie Antons Schlüssel für authentisch. 5 Rückblick auf die moderne Kryptografie • • • • Die moderne Kryptografie arbeitet völlig anders als die herkömmliche. Nachrichten werden als Zahlen geschrieben, hierin liegt kein Geheimnis. Es gibt in der Public-Key-Kryptografie öffentliche Schlüssel, die jeder sehen darf.

Es erscheint 14 als Ergebnis, also: 422 mod 17 = 14. 2 Allgemeines Rechnen modulo n Sicher sind Sie schon einmal eine Treppe hinaufgelaufen, indem Sie immer zwei Stufen auf einmal genommen haben. So macht es der Mathekäfer aus Abb. 10 auch. Hier sind direkt die Wege zur 2, dann zur 4, zur 1, zur 3 und zurück zur 0 gezeichnet. 3 Restklassen modulo n Abb. 10 Folge der Vielfachen von 2 und von 3 im Modul von 5 von 2: 1⋅2≡2 5 2 ⋅ 2≡4 2 2 +2≡4 5 2 + 2 + 2≡6≡1 5 5 3 ⋅ 2≡6≡1 5 5 4 ⋅ 2≡8 ≡3 5 2 + 2 + 2 + 2≡8≡3 5 5 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≡ 10 ≡ 0 5 5 5 5 ⋅ 2 ≡ 10 ≡ 0 5 5 5 Dasselbe Pentagramm zeigt aber auch gleichzeitig die Folge der Vielfachen von 3: 2 ⋅ 3≡6 ≡1 1 ⋅ 3≡3 5 5 5 4 ⋅ 3 ≡ 12 ≡ 2 3 ⋅ 3≡9≡4 5 5 5 ⋅ 3 ≡ 15 ≡ 0 5 5 5 5 5 5 6 ⋅ 3 ≡ 18 ≡ 3 Nun addieren oder multiplizieren wir beliebige Elemente aus Z5 : 3 + 4≡7≡2 2 + 3≡5≡0 4 + 4≡8≡3 1 + 3≡4 5 5 5 5 5 5 5 Das Rechnen in den Moduln Z n ist so definiert, dass es mit dem üblichen Rechnen in den ganzen Zahlen Z verträglich ist.

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