By Bernard Bolzano

Die "Paradoxien des Unendlichen" sind ein Klassiker der Philosophie der Mathematik und zugleich eine gute Einführung in das Denken des "Urgroßvaters" der analytischen Philosophie.

Das Unendliche - seit jeher ein Faszinosum für die philosophische Reflexion - wurde in der Zeit nach der Grundlegung der research durch Leibniz und Newton in der Mathematik zunächst als challenge betrachtet, das sich nicht vollkommen widerspruchsfrei behandeln lässt.

Bernard Bolzano, der heute als "Urgroßvater der analytischen Philosophie" (Michael Dummett) gilt, zeigt in diesem klassisch gewordenen textual content jedoch, dass es beim Nachdenken über das Unendliche, sofern guy begrifflich differenziert argumentiert und klare Definitionen zugrunde legt, keine echten Widersprüche gibt und sich die "Paradoxien des Unendlichen" auflösen lassen.

Bolzano setzt sich zunächst mit den Unendlichkeitsbegriffen der Mathematik und der (idealistisch geprägten) Philosophie seiner Zeit auseinander, bevor er sich Schritt für Schritt die analytischen Grundlagen einer konsistenten Theorie des Unendlichen erarbeitet. Bereits einige Jahrzehnte vor Georg Cantors bis heute maßgeblicher mathematischer Unendlichkeitsdefinition gelingt Bolzano mit diesem Werk, dessen logische Klarheit und dessen Grad an philosophischer Durchdachtheit bis heute Beispielcharakter haben, die Rehabilitation des Unendlichen für die Philosophie der Mathematik.

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Introduction to Category Theory

CONTENTS
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Preface
CHAPTER ONE. fundamentals FROM ALGEBRA AND TOPOLOGY
1. 1 Set Theory
1. 2 a few standard Algebraic Structures
1. three Algebras in General
1. four Topological Spaces
1. five Semimetric and Semiuniform Spaces
1. 6 Completeness and the Canonical Completion
CHAPTER . different types, DEFINITIONS, AND EXAMPLES
2. 1 Concrete and basic Categories
2. 2 Subcategories and Quotient Categories
2. three items and Coproducts of Categories
2. four the twin type and Duality of Properties
2. five Arrow classification and Comma different types over a Category
CHAPTER 3. wonderful MORPHISMS AND OBJECTS
three. 1 unique Morphisms
three. 2 distinctive Objects
three. three Equalizers and Coequalizers
three. four consistent Morphisms and Pointed Categories
three. five Separators and Coseparators
CHAPTER 4. varieties of FUNCTORS
four. 1 complete, devoted, Dense, Embedding Functors
four. 2 mirrored image and upkeep of specific Properties
four. three The Feeble Functor and opposite Quotient Functor
CHAPTER 5. typical alterations AND EQUIVALENCES
five. 1 normal variations and Their Compositions
five. 2 Equivalence of different types and Skeletons
five. three Functor Categories
five. four usual adjustments for Feeble Functors
CHAPTER SIX. LIMITS, COLIMITS, COMPLETENESS, COCOMPLETENESS
6. 1 Predecessors and bounds of a Functor
6. 2 Successors and Colimits of a Functor
6. three Factorizations of Morphisms
6. four Completeness
CHAPTER SEVEN. ADJOINT FUNCTORS
7. 1 the trail Category
7. 2 Adjointness
7. three Near-equivalence and Adjointness
7. four Composing and Resolving Shortest Paths or Adjoints
7. five Adjoint Functor Theorems
7. 6 Examples of Adjoints
7. 7 Monads
7. eight vulnerable Adjoints
APPENDIX ONE. SEMIUNIFORM, BITOPOLOGICAL, AND PREORDERED ALGEBRAS
APPENDIX . ALGEBRAIC FUNCTORS
APPENDIX 3. TOPOLOGICAL FUNCTORS
Bibliography
Index

Proof Theory of N4-Paraconsistent Logics

The current e-book is the 1st monograph ever with a critical specialize in the evidence conception of paraconsistent logics within the region of the four-valued, positive paraconsistent common sense N4 by means of David Nelson. the quantity brings jointly a couple of papers the authors have written individually or together on numerous platforms of inconsistency-tolerant good judgment.

Additional info for Paradoxien des Unendlichen

Sample text

Unstreitig wollen alle Mathematiker mit dem Zeichen o nur einen solchen Begriff verbunden wissen, daß es, A sei was immer für ein Größenausdruck, unentschieden ob einer wirklichen Größe entsprechend, oder ganz gegenstandslos, erlaubt bleibe, die beiden Gleichungen I. A — A = o, IL A + o = A zu schreiben. Hier wird nun jeder zugestehen, daß dieses nur verstattet sein könne, wenn wir das Zeichen o selbst nicht als die Vorstellung einer wirklichen Größe, sondern als bloße Abwesenheit einer Größe und die Zeichnung A + o als eine Forderung betrachten, zu der etwaigen Größe, die A bezeichnet, in Wahrheit w e d e r e t w a s z u s e t z e n n o c h a b z i e h e n zu w o l l e n .

Heben wir (in dem ersten Beispiele) aus der Menge der Größen, die zwischen o und 5 liegen, ganz nach Belieben zwei, etwa die Größen 3 und 4, hervor: so sind die ihnen zugehörigen (mit ihnen Paare bildenden) in B offenbar 1 2 A I2 ^ A • 1 A o — • 3 und — • 4 d. 1. 7-J- und 9*. 5 5 Verstehen wir nun (wie wir sollen) unter dem V e r h ä l t n i s s e zwischen zwei Dingen den Inbegriff a l l e r an ihrem Vereine sich kundgebender Beschaffenheiten, so dürfen wir an dem Verhältnisse, in welchem die Teile 3 und 4 in der einen, und 7^ und 9^ in der anderen Menge zueinander stehen, nicht etwa einseitigerweise bloß dasjenige VerhältB o l z a n o , Paradox, en des Unendlichen.

R. S. Unterzeichneter zu beweisen, daß die bekannte unendliche Reihe a—-a-f-a — a - | - a — a - [ ~ . . . i n inf. den Wert — habe; indem er, diesen Wert —x gesetzt, schließen zu dürfen glaubte, daß x = a — a - j - a — a - } - . . in inf. = a — (a — a -{- a — a - { - . . ) und die in den Klammern eingeschlossene Reihe identisch mit der zu berechnenden, somit abermals —x zu setzen sei, welches denn a und somit x= — gibt. 2 Der Fehlschluß liegt hier nicht tief verborgen. Die Reihe in den Klammern hat offenbar nicht mehr dieselbe Gliedermenge, wie die zuerst = x gesetzte; sondern ihr fehlt das erste a.

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